Question

12．如圖，矩形OABC中，OA=4，OC=8，點(diǎn)D是線段OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AO作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸正半軸作勻速運(yùn)動(dòng)，P，Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．
（1）求點(diǎn)B，點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）函數(shù)y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過點(diǎn)D，R為y=$\frac{k}{x}$上一點(diǎn)，在P，Q的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若以點(diǎn)P，Q，B，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求R點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由矩形的對(duì)邊相等得出點(diǎn)B（8，4），由中點(diǎn)定義得D（4，2）；
（2）分兩種情形①如圖1中，當(dāng)P在線段OA上時(shí)，四邊形PQRB是平行四邊形，如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，四邊形PQBR是平行四邊形，利用全等三角形的性質(zhì)，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴BC=OA=4，
∵OC=8，
∴B（8，4），
∵點(diǎn)D是線段OB的中點(diǎn)，
∴D（4，2）；
（2）∵函數(shù)y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過點(diǎn)D，
∴k=4×2=8，
∴y=$\frac{8}{x}$，
如圖1中，當(dāng)P在線段OA上時(shí)，四邊形PQRB是平行四邊形，作RM⊥BC于M，
由△POQ≌△BMR，得BM=OP，RM=OQ，
∴R（8+t，$\frac{8}{8+t}$），
∵OP=BM，
∴4-t=4-$\frac{8}{8+t}$，
∴t²+8t-8=0，解得t=-4+2$\sqrt{3}$或-4-2$\sqrt{3}$（舍棄）．
如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，四邊形PQBR是平行四邊形，作RM⊥BC于M．
由△POQ≌△BMR得到，OP=BM，OQ=RM，
∴點(diǎn)R（$\frac{8}{8-t}$，8-t），
∵OQ=RM，
∴t=8-$\frac{8}{8-t}$，
∴t²-16t+56=0，
∴t=8±$\sqrt{13}$，
∴t=-4+2$\sqrt{3}$或8±$\sqrt{13}$秒時(shí)，P，Q，B，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)、平行四邊形、矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．