Question

2．在△ABC中，∠C＞∠B．
（1）如圖①，AD⊥BC于點D，AE平分∠BAC，證明：∠EAD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．
（2）如圖②，AE平分∠BAC，F(xiàn)為AE上的一點，且FD⊥BC于點D，這時∠EFD與∠B、∠C有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（3）如圖③，AE平分∠BAC，F(xiàn)為AE延長線上的一點，F(xiàn)D⊥BC于點D，請你寫出這時∠AFD與∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系（只寫結(jié)論，不必說明理由）．

Answer 1

分析 （1）由圖不難發(fā)現(xiàn)∠EAD=∠EAC-∠DAC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及其推論結(jié)合角平分線的定義分別用結(jié)論中出現(xiàn)的角替換∠EAC和∠DAC．
（2）（2）由角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得出∠BAE=90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B），外角的性質(zhì)得出∠AEC=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），在△EFD中，由三角形內(nèi)角和定理可得∠EFD；
（3）與（2）的方法相同．

解答 證明：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$[180°-（∠B+∠C）]
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C，
∵∠EAD=∠EAC-∠DAC
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$[180°-（∠B+∠C）]-（90°-∠C）=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

（2）∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{180°-∠B-∠C}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B），
∵∠AEC為△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B）=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°-90°-$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）
∴∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）

（3）∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{180°-∠B+∠C}{2}$．
∵∠DEF為△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+$\frac{180°-∠B+∠C}{2}$=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°-90°-$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∴∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

點評 本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，綜合利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解答此題的關(guān)鍵．