Question

7．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，CD=$\frac{1}{2}$BC，DE⊥CE，DE=CE，連接AE，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)．
（1）如圖1，若點(diǎn)D在BC邊上，連接CM，當(dāng)AB=4時(shí)，求CM的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接BD，點(diǎn)N是BD中點(diǎn)，連接MN，NE，求證：MN⊥AE；
（3）如圖3，將圖2中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠BCD=30°，連接BD，點(diǎn)N是BD中點(diǎn)，連接MN，探索$\frac{MN}{AC}$的值并直接寫(xiě)出結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）先證明△ACE是直角三角形，根據(jù)CM=$\frac{1}{2}$AE，求出AE即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，如圖2中，延長(zhǎng)EN至F使NF=NE，連接AF、BF，先證明△DNE≌△BNF，再證明△ABF≌△ACE，推出∠FAB=∠EAC，可得∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，由此即可解決問(wèn)題．
（3）如圖3中，延長(zhǎng)DM到G使得MG=MD，連接AG、BG，延長(zhǎng)AG、EC交于點(diǎn)F，先證明△ABG≌△CAE，得到BG=AE，設(shè)BC=2a，在RT△AEF中求出AE，根據(jù)中位線定理MN=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$AE，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，連接AD．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACD=45°，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵DC=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，
∵ED=EC，∠DEC=90°，
∴DE=EC=2，∠DCE=∠EDC=45°，
∴∠ACE=90°，
在RT△ACE中，AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AM=ME，
∴CM=$\frac{1}{2}$AE=$\sqrt{5}$．
（2）如圖2中，延長(zhǎng)EN至F使NF=NE，連接AF、BF．
在△DNE和△BNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{ND=NB}\\{NE=NF}\\{∠DNE=BNF}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△BNF，
∴BF=DE=EC，∠FBN=∠EDN，
∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACE=90°-∠DCB，
∴∠ABF=∠FBN-∠ABN
=∠BDE-∠ABN
=180°-∠DBC-∠DGB-∠ABN
=180°-∠DBC-∠DCB-∠CDE-∠ABN
=180°-（∠DBC+∠ABN）-∠DCB-45°
=180°-45°-45°-∠DCB=90°-∠DCB=∠ACE，
在△ABF和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABF=∠ACE}\\{BF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACE．
∴∠FAB=∠EAC，
∴∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，
∵N為FE中點(diǎn)，M為AE中點(diǎn)，
∴AF∥NM，
∴MN⊥AE．
（3）如圖3中，延長(zhǎng)DM到G使得MG=MD，連接AG、BG，延長(zhǎng)AG、EC交于點(diǎn)F．
∵△AMG≌△EMD，
∴AG=DE=EC，∠GAM=∠DEM，
∴AG∥DE，
∴∠F=∠DEC=90°，
∵∠FAC+∠ACF=90°，∠BCD+∠ACF=90°，∠BCD=30°，
∴∠CAF=30°，∠BAG=∠BAC+∠CAF=120°，
∴∠BAG=∠ACE=120°，
在△ABG和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAG=∠ACE}\\{AG=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CAE，
∴BG=AE，
∵BN=ND，DM=MG，
∴BG=AE=2MN，
∵∠FAC=∠BCD=30°，設(shè)BC=2a，則CD=a，DE=EC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，AC=$\sqrt{2}$a，CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，AF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，EF=$\sqrt{2}$a，
∴AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$a，
∴MN=$\frac{\sqrt{14}}{4}$a，
∴$\frac{MN}{AC}$=$\frac{\frac{\sqrt{14}}{4}a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)添加輔助線的方法，屬于中考?jí)狠S題．