Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2，以PB為邊作等邊△PBM，則線段AM的長(zhǎng)最大值為5．

Answer 1

分析 分情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)時(shí)，將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DPB，連接AD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得AM的最大值為5，當(dāng)點(diǎn)P在第四象限內(nèi)時(shí)，同理可得線段AM的長(zhǎng)最大值為5．

解答 解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)時(shí)，將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DPB，連接AD，則
DP=AP，∠APD=60°，AM=BD，
∴△ADP是等邊三角形，
∴由BD≤AD+AB可得，當(dāng)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，BD最長(zhǎng)，
此時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），
∴AB=5-2=3，AD=AO=2，
∴BD=AD+AB=2=3=5=AM，
即線段AM的長(zhǎng)最大值為5；
當(dāng)點(diǎn)P在第四象限內(nèi)時(shí)，同理可得線段AM的長(zhǎng)最大值為5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，最大值問(wèn)題以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，解題時(shí)注意分類(lèi)思想的運(yùn)用．