Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D．
（1）利用尺規(guī)作⊙O，使⊙O經(jīng)過點A，D，且圓心O在AB上，并標出⊙O與AB的另一個交點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在你所作的圖中，
①判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；
②若AB=6cm，BD=2$\sqrt{3}$cm，求：線段BD，BE與劣弧$\widehat{DE}$所圍成的圖形面積（結果保留根號和π）

Answer 1

分析 （1）分別以A、D為圓心，以大于$\frac{1}{2}$AD為半徑畫弧，交于點M、N，作直線MN，交線段AB于點O，再以O為圓心，以OA或OD為半徑畫圓交AB于E，則⊙O就是所求作的圓；
（2）①連接OD，證AC∥OD得∠ODB=∠C=90°，則BC與⊙O相切；
②設⊙O半徑為x，根據(jù)勾股定理求出圓O的半徑，則所求圖形面積=S_△ODB-S_扇形ODE，代入面積公式計算即可．

解答 解：（1）如圖1所示：





（2）①如圖2，BC與⊙O相切，理由是：
連接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AC∥OD，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴BC與⊙O相切；
②如圖2，設⊙O半徑為x，則OA=OD=x，OB=6-x，
在Rt△ODB中，OD²+BD²=OB²，
∴x²+（2$\sqrt{3}$）²=（6-x）²，
x=2，
∴OD=2，OB=6-2=4，
∴∠B=30°，∠DOB=90°-30°=60°，
設線段BD，BE與劣弧$\widehat{DE}$所圍成的圖形面積為S，
則S=S_△ODB-S_扇形ODE=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$；
∴線段BD，BE與劣弧$\widehat{DE}$所圍成的圖形面積為（2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$）cm²．

點評 本題是圓的綜合題，綜合考查了尺規(guī)作圓、扇形面積公式、勾股定理和切線的證明，難度不大；過兩點作圓，直接作兩點為線段的垂直平分線，圓心就是這條垂直平分線上；在判定一條直線是否為圓的切線時，①當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點，作垂線段，證半徑”；②當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作半徑，證垂直”，本題就是第二種情況，有交點，作半徑，證垂直．