Question

1．如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=4$\sqrt{3}$．
（1）求圖中陰影部分的面積；
（2）若用扇形BOC（陰影部分）圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，請求出這個(gè)圓錐的底面圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）先利用同弧所對的圓周角等于所對的圓心角的一半，求出扇形的圓心角為120度，在Rt△BOE中根據(jù)勾股定理可求出半徑的長，利用扇形的面積公式即可求解；
（2）直接根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得圓錐的底面圓的半徑．

解答 解：（1）過O作OE⊥CB于E，則BE=CE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∵AB=4$\sqrt{3}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$CB=2$\sqrt{3}$．
在Rt△BEO中，
∵∠BAC=60°，
∴∠OBE=30°，
∴cos30°=$\frac{BE}{OB}$．
∴OB=$\frac{BE}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4．
∴S_陰影=$\frac{120°π•{4}^{2}}{360°}$=$\frac{8}{3}$π．
（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr，
∴2πr=$\frac{120°π•4}{180°}$．
∴r=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了扇形的面積公式和圓錐的側(cè)面展開圖與底面周長之間的關(guān)系．本題還涉及到圓中的一些性質(zhì)，如垂徑定理等．