Question

如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，把△BCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于點(diǎn)G，E、F分別是C′D和BD上的點(diǎn)，線段EF交AD于點(diǎn)H，把△FDE 沿EF折疊，使點(diǎn)D落在D′處，點(diǎn)D′恰好與點(diǎn)A重合．
（1）求證：AG=C′G；
（2）求sin∠ABG的值；
（3）求△DEF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，根據(jù)ASA可證△ABG≌△C′DG，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，設(shè)AG=x，則GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的長，進(jìn)而得出sin∠ABG的值；
（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故AH=HD=

1

2

AD=4，再根據(jù)同角三角函數(shù)可求tan∠ABG，即可得出EH的長，同理可得HF是△ABD的中位線，故可得出HF的長，由EF=EH+HF，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵△BDC′由△BDC 翻折而成，
∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，
∴∠ABG=∠ADE，
在△ABG≌△C′DG 中，

∠BAD=∠C′ AB=C′D ∠ABG=∠ADC′

，
∴△ABG≌△C′DG（ASA），
∴AG=C′G；

（2）由（1）可知△ABG≌△C′DG，
∴GD=GB，
∴AG+GB=AD，
設(shè)AG=x，則GB=8-x，
在Rt△ABG中，
∵AB²+AG²=BG²，
即6²+x²=（8-x）²，
解得x=

7

4

，
∴sin∠ABG=

AG

BG

=

7 4

8- 7 4

=

7

25

；

（3）∵△AEF是△DEF翻折而成，
∴EF垂直平分AD，
∴AH=HD=

1

2

AD=4，
∵sin∠ABG=

7

25

，
∴tan∠ABG=tan∠ADE=

7

24

，
∴EH=HD×

7

24

=4×

7

24

=

7

6

，
∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，
∴HF是△ABD的中位線，
∴HF=

1

2

AB=

1

2

×6=3，
∴EF=EH+HF=

7

6

+3=

25

6

，
∴△DEF的面積=

1

2

×

25

6

×4=

25

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是翻折變換、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及解直角三角形，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵．