Question

如圖，直線y=-x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點A、B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第一象限的拋物線上，是否存在一點P，使得△ABP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）點M在拋物線上，過點M作y軸的平行線交直線AB于點N，是否存在以點M、N、O、B為頂點的平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線的解析式求得直線與坐標軸的交點坐標，然后代入拋物線的解析式利用待定系數(shù)法確定解析式即可；
（2）假設存在點P（x，y）使得△ABP的面積最大，連接OP，利用S_△ABP=S_△OPA+S_△OPB-S_△OAB得到有關面積與點P的橫坐標的關系即可確定M點的坐標；
（3）存在，設點M（x，y），所以y_M=-x²+2x+3，根據(jù)MN∥y軸得到y(tǒng)_N=-x+3，從而表示出MN=|（-x+3）-（-x²+2x+3）|=|x²-3x|，利用等腰三角形的性質得到當MN=BO=3時，以M、N、O、B為頂點的四邊形是平行四邊形，從而得到|x²-3x|=3，求得x的值即可求得點M的坐標．

解答：解：（1）直線y=-x+3，當y=0時，x=3；當x=0時，y=3，
∴A（3，0）、B（0，3），
∵拋物線過A（3，0）、B（0，3），
∴

-9+3b+c=0 c=3

解得：

b=2 c=3

，
∴所求拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）假設存在點P（x，y）使得△ABP的面積最大，
連接OP，則S_△ABP=S_△OPA+S_△OPB-S_△OAB=

1

2

OA•y+

1

2

OB•x-

1

2

OA•OB
=

3

2

y+

3

2

x-

9

2

=

3

2

（x-x²+2x+3）-

9

2

=-

3

2

（x²-3x）
=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

當x=

3

2

時，點P（

3

2

，

15

4

）在第一象限，此時△ABP的面積最大，
所求的點P的坐標為：P（

3

2

，

15

4

）．

（3）存在，設點M（x，y），所以y_M=-x²+2x+3
∵MN∥y軸，
∴y_N=-x+3，
∴MN=|（-x+3）-（-x²+2x+3）|=|x²-3x|
當MN=BO=3時，
以M、N、O、B為頂點的四邊形是平行四邊形，
即|x²-3x|=3，
解得：x=

3+ 21

2

或x=

3- 21

2

當x=

3+ 21

2

時，y=-

3+ 21

2

，
當x=

3- 21

2

時，y=-

3- 21

2

，
所以當M（

3+ 21

2

，-

3+ 21

2

）或M（

3- 21

2

，-

3- 21

2

）以M、N、O、B為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．