Question

9．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，若PA⊥AB，PO過AC的中點(diǎn)M．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑長是4，PA=AC，求OM的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由SSS證明△OPC≌△OPA，得出∠PCO=90°即可；
（2）證明△APC是等邊三角形，求出∠BAC=30°，得出BC的長，再證明OM是△ABC的中位線，由三角形中位線定理即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接OC，如圖所示：
∵PA⊥AB，
∴∠PA0=90°．
∵PO過AC的中點(diǎn)M，OA=OC，
∴PO⊥AC，
∴PA=PC，
在△OPC和△OPA中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=PA}&{\;}\\{OC=OA}&{\;}\\{PO=PO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OPC≌△OPA（SSS），
∴∠PCO=∠PA0=90°，
即OC⊥PO，
∴PC是⊙O的切線．
（2）解：∵⊙O的半徑長是4，
∴AB=8，
∵PA=AC，PA=PC，
∴PA=AC=PC，
∴∠PAC=60°，
∴∠BAC=90°-60°=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，OA=OB，
∴OM是△ABC的中位線，
∴OM=$\frac{1}{2}$BC=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、垂徑定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)；熟練掌握切線的判定方法，證明三角形全等是解決問題（1）的關(guān)鍵．