Question

20．如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，點D、E分別在BC、AC上，且∠ADE=∠B
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）求線段AE的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可判斷．
（2）利用相似三角形的性質(zhì)根據(jù)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值解決問題．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B，∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠EDC，
∴△ABD∽△DCE．
（2）設(shè)AE=x，BD=y，則DC=6-y，EC=5-x
∵△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{DC}$=$\frac{BD}{EC}$，
∴$\frac{5}{6-y}$=$\frac{y}{5-x}$，
∴x=$\frac{1}{5}$（y²-6y+25）=$\frac{1}{5}$（y-3）²+$\frac{16}{5}$，
∴y=3時，x最小值=$\frac{16}{5}$．
∴AE的最小值為$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)求最值問題，系統(tǒng)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中考�？碱}型．