Question

如圖，已知BC為⊙O的直徑，A為⊙O上一點(diǎn)，連接AB、AC，BC=4，tanB=2，AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，DE∥BC交AC延長線于E點(diǎn)．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計(jì)算

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OD，根據(jù)圓周角定理由BC為⊙O的直徑得到∠BAC=90°，再根據(jù)角平分線定義得到∠CAD=45°，則利用圓周角定理得到∠DOC=2∠DAC=90°，即OD⊥BC，由于DE∥BC，所以O(shè)D⊥DE，則可根據(jù)切線的判定定理得到DE為⊙O的切線；
（2）作CF⊥DE于F，易得四邊形ODFC為正方形，則OC=OD=CF=DF=2，由BC∥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ACB=∠E，于是根據(jù)等角的余角相等得到∠ECF=∠B，則tan∠ECF=tanB=2，在RtCEF中，利用正切的定義可計(jì)算出EF=4，則DE=DF+EF=6，然后根據(jù)扇形的面積公式和S_陰影部分=S_梯形ODEC-S_扇形DOC進(jìn)行計(jì)算．

解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=45°，
∴∠DOC=2∠DAC=90°，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE為⊙O的切線；

（2）解：作CF⊥DE于F，如圖，則四邊形ODFC為正方形，
∵BC=4，
∴OC=OD=CF=DF=2，
∵BC∥DE，
∴∠ACB=∠E，
而∠E+∠ECF=90°，∠ACB+∠B=90°，
∴∠ECF=∠B，
∴tan∠ECF=tanB=2，
在RtCEF中，tan∠ECF=

EF

CF

=2，
∴EF=2CF=4，
∴DE=DF+EF=6，
∴S_陰影部分=S_梯形ODEC-S_扇形DOC
=

1

2

×（2+6）×2-

90•π•22

360

=8-π．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和扇形的面積公式．