Question

2．如圖，在東西方向的海岸線AB上，有C、D兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船F(xiàn)的求救信號(hào)，已知C、D兩船相距50（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）海里，船F(xiàn)在船C的北偏東30°方向上，船F(xiàn)在船D的西北方向上，海岸線AB上有一觀測點(diǎn)E，測得船F(xiàn)正好在觀測點(diǎn)E的北偏西15°方向上．
（1）分別求出F與C，F(xiàn)與D之間的距離PC和FD（如果運(yùn)算結(jié)果有根號(hào)，請(qǐng)保留根號(hào)）．
（2）已知距觀測點(diǎn)E處100$\sqrt{3}$萬海里范圍內(nèi)有暗礁，若巡邏船C沿直線CF去彎救船F(xiàn)，在去營救的途中有無觸暗礁危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}≈$1.41，$\sqrt{3}$，1.73，$\sqrt{6}$≈2.45）

Answer 1

分析 （1）如圖，作EG⊥CF，F(xiàn)H⊥CD，解直角三角形得到FH=CH•tan60°=$\sqrt{3}$x，F(xiàn)H=DH=$\sqrt{3}$x，求得CH+DH=x+$\sqrt{3}$x=50（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$），于是得到結(jié)論；
（2）設(shè)CG=y，則GF=GE=$\sqrt{3}$y，于是得到CF=y+$\sqrt{3}$y=100$\sqrt{2}$，求得CE=2y=100（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$），得到GE=$\sqrt{3}$CG=$\sqrt{3}$×50（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）≈103海里，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，作EG⊥CF，F(xiàn)H⊥CD，
由題意得：∠CDF=45°，∠FCD=60°，
設(shè)CH=x海里，
在Rt△CHF中，F(xiàn)H=CH•tan60°=$\sqrt{3}$x海里；
在Rt△DFH中，F(xiàn)H=DH=$\sqrt{3}$x海里，
∴CH+DH=x+$\sqrt{3}$x=50（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$），
解得：x=50$\sqrt{2}$，
∴CF=2x=100$\sqrt{2}$，F(xiàn)H=50$\sqrt{6}$海里，
∴DF=$\sqrt{2}$FH=100$\sqrt{3}$海里．
答：F與C之間的距離是100$\sqrt{2}$海里，F(xiàn)與D之間的距離是100$\sqrt{3}$海里；

（2）作EG⊥CF，設(shè)CG=y，則GF=GE=$\sqrt{3}$y，
∴CF=y+$\sqrt{3}$y=100$\sqrt{2}$，
解得：y=50（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$），
∴CE=2y=100（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$），
GE=$\sqrt{3}$CG=$\sqrt{3}$×50（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）≈103海里，
∵103＜100$\sqrt{3}$，
所以巡邏船C沿直線CF去彎救船F(xiàn)，在去營救的途中有觸暗礁危險(xiǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出直角三角形并選擇合適的邊角關(guān)系解答．