Question

6．若正整數(shù)x，y，z滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}\;{x^3}-{y^3}-{z^3}=3xyz\\ \;{x^2}=7（y+z）\end{array}\right.$，則xyz的最大值為84．

Answer 1

分析 根據(jù)方程組$\left\{\begin{array}{l}\;{x^3}-{y^3}-{z^3}=3xyz\\ \;{x^2}=7（y+z）\end{array}\right.$，可以求得x的值，從而可以得到y(tǒng)+z的值，從而可以求得xyz的最大值，本題得以解決．

解答 解：由x³-y³-z³=3xyz，得
${x^3}-{y^3}-{z^3}-3xyz=\frac{1}{2}（x-y-z）[{{{（x+y）}^2}+{{（x+z）}^2}+{{（z-y）}^2}}]=0$．
∵x，y，z為正整數(shù)
∴（x+y）²+（x+z）²+（z-y）²＞0，
∴x-y-z=0，
∴x=y+z，
又∵x²=7（y+z），
∴x²=7x，
解得x=7或x=0（舍去），
∴y+z=7，
∴當x=7，y=3，z=4或x=7，y=4，z=3時，xyz有最大值84，
故答案為：84．

點評 本題考查高次方程，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．