Question

13．如圖，正方形ABCD的邊CD與Rt△EFG的直角邊EF重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FE方向移動，在移動過程中，邊CD始終與邊EF重合（移動開始時點C與點F重合）．連接AE，過點C作AE的平行線交直線EG于點H，連接HD．已知正方形ABCD的邊長為1cm，EF=4cm，設(shè)正方形移動時間為x（s），線段EH的長為y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）當(dāng)x=2時，AE的長為$\sqrt{2}$cm；
（2）試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出△EHD與△ADE的面積之差；
（3）當(dāng)正方形ABCD移動時間x=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$時，線段HD所在直線經(jīng)過點B．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ADE=90°，根據(jù)勾股定理計算即可；
（2）根據(jù)題意表示出EC=4-x，ED=3-x，證明△AED∽△HCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，代入計算即可；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ADB=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）當(dāng)x=2時，即CF=2cm，
則EC=EF-CF=2cm，又CD=1cm，
∴ED=1cm，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADE=90°，
∴AE=$\sqrt{D{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$cm，
故答案為：$\sqrt{2}$cm；
（2）∵正方形移動時間為x（s），
∴CF=x，
則EC=4-x，ED=3-x，
∵AE∥HC，
∴∠AED=∠HCE，又∠ADE=∠HEC，
∴△AED∽△HCE，
∴$\frac{AD}{EH}$=$\frac{DE}{EC}$，即$\frac{1}{y}$=$\frac{3-x}{4-x}$，
解得，y=$\frac{4-x}{3-x}$，
△ADE的面積=$\frac{1}{2}$×（3-x）×1=$\frac{3-x}{2}$，
△EHC的面積=$\frac{1}{2}$×（4-x）×$\frac{4-x}{3-x}$=$\frac{（4-x）^{2}}{2（3-x）}$，
則△EHD的面積=$\frac{1}{2}$×（3-x）×$\frac{4-x}{3-x}$=$\frac{4-x}{2}$，
△EHD的面積-△ADE的面積=$\frac{1}{2}$；
（3）當(dāng)線段HD所在直線經(jīng)過點B時，
∵∠ADB=45°，∠ADE=90°，
∴∠EDH=45°，
∴EH=ED，即$\frac{4-x}{3-x}$=3-x，
解得，x₁=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$（舍去），
故答案為：$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)解析式的確定，正確相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、等高的兩個三角形的面積比等于對應(yīng)的底的比是解題的關(guān)鍵，注意方程思想在解題中的應(yīng)用．