Question

7．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；
（3）點M是拋物線對稱軸上的一個動點，當△ACM的周長最小時，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點坐標；
（2）根據(jù)勾股定理的逆定理，可得答案；
（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，兩點之間線段最短，可得M點是對稱軸與BC的交點，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解答 解：（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=x²+bx-2上，
∴$\frac{1}{2}$×（-1）²+b×（-1）-2=0，
解得 b=-$\frac{3}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．
∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴頂點D的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
當x=0時，y=-2，
∴C（0，-2），則OC=2．
當y=0時，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，
∴x₁=-1，x₂=4，則B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∴AB=5．
∵AB²=25，AC²=OA²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形；
（3）由題意A、B兩點關(guān)于對稱軸對稱，故直線BC與對稱軸的交點即為點M．
由B（4，0），C（0，-2）
設(shè)直線BC：y=kx-2
4k-2=0，
k=$\frac{1}{2}$．
所以直線BC：y=$\frac{1}{2}$x-2．
當x=$\frac{3}{2}$時，y=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{5}{4}$．
所以M（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用勾股定理的逆定理判定三角形的形狀；利用軸對稱的性質(zhì)得出M是BC與對稱軸的交點是解題關(guān)鍵．