Question

19．已知四邊形ABCD的四邊分別是a，b，c，d，且a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=4abcd，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 本題需先根據(jù)已知條件得出a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-4abcd=0，然后再進(jìn)行整理，得出（a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0，再根據(jù)a，b，c，d都是正數(shù)這個(gè)條件，得出a=b，c=d，a=c，最后得出該四邊形的四條邊相等，則四邊形ABCD是菱形．

解答 證明：由已知可得：a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-4abcd=0，
（a²-b²）²+（c²-d²）²+2a²b²+2c²d²-4abcd=0，
∴（a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0．
∴（a²-b²）²≥0，（c²-d²）²≥0，（ab-cd）²≥0，
∴a²-b²=c²-d²=ab-cd=0，
∴（a+b）（a-b）=（c+d）（c-d）=0．
又∵a，b，c，d都為正數(shù)，
∴a+b≠0，c+d≠0，
∴a=b，c=d．
∴ab-cd=a²-c²=（a+c）（a-c）=0，
∴a=c，
∴a=b=c=d，即四邊形ABCD是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了菱形的判定，利用了“四條邊相等的四邊形為菱形”的判定定理證得結(jié)論，在解題時(shí)要注意采用綜合法去證明這是解題的關(guān)鍵．