Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使得CD=BD，連接AC交⊙O于點(diǎn)F，連接AE、DE、DF．
（1）證明：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度數(shù)；
（3）設(shè)DE交AB于點(diǎn)G，若DF=4，cosB=$\frac{2}{3}$，E是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，求EG•ED的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用圓周角定理得出AD⊥BC，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；
（2）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠AFD=180°-∠E，進(jìn)而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；
（3）根據(jù)cosB=$\frac{2}{3}$，得出AB的長(zhǎng)，即可求出AE的長(zhǎng)，再判斷△AEG∽△DEA，求出EG•ED的值．

解答 （1）證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C；

（2）解：∵四邊形AEDF是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠AFD=180°-∠E，
又∵∠CFD=180°-∠AFD，
∴∠CFD=∠E=55°，
又∵∠E=∠C=55°，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；

（3）解：連接OE，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=4，
在Rt△ABD中，cosB=$\frac{2}{3}$，BD=4，
∴AB=6，
∵E是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，
∴∠AOE=90°，
∵AO=OE=3，
∴AE=3$\sqrt{2}$，
∵E是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，
∴∠ADE=∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴$\frac{AE}{EG}$=$\frac{DE}{AE}$，
即EG•ED=AE²=18．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓的綜合題、圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得出AE，AB的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．