Question

16．在等邊△ABC中，

（1）如圖1，P，Q是BC邊上的兩點(diǎn)，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度數(shù)；
（2）點(diǎn)P，Q是BC邊上的兩個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，且AP=AQ，點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M，連接AM，PM．
①依題意將圖2補(bǔ)全；
②小茹通過觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想：在點(diǎn)P，Q運(yùn)動的過程中，始終有PA=PM，小茹把這個猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：
想法1：要證明PA=PM，只需證△APM是等邊三角形；
想法2：在BA上取一點(diǎn)N，使得BN=BP，要證明PA=PM，只需證△ANP≌△PCM；
想法3：將線段BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BK，要證PA=PM，只需證PA=CK，PM=CK…
請你參考上面的想法，幫助小茹證明PA=PM（一種方法即可）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APQ=∠AQP，由鄰補(bǔ)角的定義得到∠APB=∠AQC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）如圖2根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APQ=∠AQP，由鄰補(bǔ)角的定義得到∠APB=∠AQC，由點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M，得到AQ=AM，∠OAC=∠MAC，等量代換得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠APB=∠AQC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=20°，
∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°；
（2）如圖2，∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠APB=∠AQC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，（將線段BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BK，要證PA=PM，只需證PA=CK，PM=CK…
請你參考上面的想法，幫助小茹證明PA=PM）
∵點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M，
∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，
∴∠MAC=∠BAP，
∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，
∴∠PAM=60°，
∵AP=AQ，
∴AP=AM，
∴△APM是等邊三角形，
∴AP=PM．證明△ABP≌△ACM≌△BCK

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．