Question

如圖，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-4），在直線y=2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：作AB⊥直線y=2x于點(diǎn)A，PE⊥直線y=2x于點(diǎn)E，作DF⊥OB于F，設(shè)AB的解析式為y=kx+b，由待定系數(shù)法就可以AB的解析式，進(jìn)而可以求出PE的解析式，就可以求出A、P的坐標(biāo)，由等腰梯形的性質(zhì)就可以得出PO=BD，PB∥AE，就可以得出AB=PE，由三角形全等就可以得出OE=AD，由兩點(diǎn)間的距離公式就可以求出OE，BP的值，就可以求出OD的值，作DF⊥OB于點(diǎn)F，設(shè)D（m，2m），由勾股定理就可以求出m的值，進(jìn)而求出結(jié)論．

解答：解：AB⊥直線y=2x于點(diǎn)A，PE⊥直線y=2x于點(diǎn)E，作DF⊥OB于F，
∴∠BAE=∠AEP=90°．AB∥BP．
設(shè)直線AB的解析式為y=k₁x+b₁，由題意，得

2k1=-1 0=6k1+b1

，
解得：

k1=- 1 2 b1=3

，
∴直線AB的解析式為：y=-

1

2

x+3．
設(shè)PE的解析式為y=k₂x+b₂，由題意，得

2k2=-1 -4=4k2+b2

，
解得：

k2=- 1 2 b2=-2

，
∴直線PE的解析式為：y=-

1

2

x-2．
設(shè)PB的解析式為y=k₃x+b₃，由題意，得

0=6k3+b3 -4=4k3+b3

，
解得：

k3=2 b3=-12

，
∴直線AB的解析式為：y=2x-12．
∵直線AE的解析式為y=2x，
∴AE∥BP，
∵AB∥BP．
∴四邊形AEPB是平行四邊形，
∵∠AEP=90°，
∴平行四邊形AEPB是矩形，
∴PE=BA．AE=BP．
∵四邊形PBDO是等腰梯形，
∴PO=BD．
在Rt△PEO和Rt△BDA中，

PO=BD PE=BA

，
∴Rt△PEO≌Rt△BDA（HL），
∴OE=DA．
∵

y=- 1 2 x-2 y=2x

，
解得：

x=- 4 5 y=- 8 5

，
∴E（-

4

5

，-

8

5

），
∴OE=

4 5

5

．
∴DA=

4 5

5

．
∵BP=

(6-4)2+(0+4)2

=2

5

，
∴AE=2

5

，
∴OD=2

5

-2×

4 5

5

=

2 5

5

．
設(shè)D（m，2m），作DF⊥OB于點(diǎn)F．
∴OF=m，DF=2m．
在Rt△DOF中，由勾股定理，得
m²+4m²=

4

5

解得：m=±

2

5

．
∵點(diǎn)D在第一象限，
∴m＞0，
∴m=

2

5

．
∴DF=

4

5

，
∴D（

2

5

，

4

5

）．

點(diǎn)評：本題考查了垂線的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰梯形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，平面上兩點(diǎn)間的距離公式的運(yùn)用，一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．