Question

4．如圖，在直角梯形AOBC中，AC∥OB，且OB=6，AC=5，OA=4．
（1）直接寫出B、C兩點的坐標；
（2）以O、A、B、C中的三點為頂點可組成哪幾個不同的三角形？
（3）是否在邊AC和BC（含端點）上分別存在點M和點N，使得△MON的面積最大時，它的周長還最短？若存在，請說明理由，并求出這時點M、N的坐標；若不存在，為什么？

Answer 1

分析 （1）由OB=6，點B在x軸，得到B點的坐標，根據(jù)AC∥OB，AC=5，得到點C的坐標；
（2）根據(jù)不在同一直線的三點能組成一個三角形，得到以O、A、B、C中的三點為頂點可組成4個不同的三角形；
（3）過點M作MP∥OA，交ON于點P，過點N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點Q、G，則S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=$\frac{1}{2}$MP•QG+$\frac{1}{2}$MP•GN，因為QN、MP同時取得最大值是OB、OA，所以M應該和A重合，從而求得M的坐標．

解答 解：（1）∵OB=6，OA=4，
∴B（6，0）
∵AC∥OB，AC=5，
∴C（5，4）；

（2）以O、A、B、C中的三點為頂點可組成的三角形為△AOB△AOC△BOC△ABC四個不同的三角形；

（3）如圖，過點M作MP∥OA，交ON于點P，過點N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點Q、G，
則S_△MON=S_△OMP+S_{△NMP=$\frac{1}{2}$MP•QG+$\frac{1}{2}$MP•GN}，
∵MP≤OA，QN≤OB，
∴當點N與點B重合，M在AC上運動時，QN，MP同時取得最大值BO，OA，
∴△MON的面積=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴M點與A點重合，
∴M（0，4），△MON的周長=10+$\sqrt{56}$，
當△OMN是等腰三角形時，點N與B重合，
則OM=MN，∴M（3，4），
∴△MON的面積=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴△MON的周長=16＜10+$\sqrt{56}$，
∴存在點M和點N，使得△MON的面積最大時，它的周長還最短，
M（3，4）．

點評 本題考查了直角梯形的性質(zhì)，坐標和圖形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，不在同一直線的三點能組成一個三角形等知識點，作出輔助線是本題的關(guān)鍵．