Question

10．如圖一，∠ACB=90°，點(diǎn)D在AC上，DE⊥AB垂足為E，交BC的延長(zhǎng)線于F，DE=EB，EG=EB，
（1）求證：AG=DF；
（2）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AD，垂足為H，與DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，如圖二，找出圖中與AB相等的線段，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到DE=EB=EB，∠EGD=∠EGD=∠EDB=∠EBD=45°，進(jìn)而證得∠AGD=∠FDB=135°，根據(jù)三角形內(nèi)角和證得∠A=∠F，由三角形外角定理證得∠ADG=∠FBD，根據(jù)三角形的判定證得△ADG≌△FDB，由全等三角形的判定即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到△AED≌△FEB，由全等三角形的性質(zhì)得到AE=EM，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵DE=EB，EG=EB，DE⊥AB，
∴DE=EB=EG，
∴∠EGD=∠EDG=∠EDB=∠EBD=45°，
∴∠AGD=∠FDB=135°，
∵∠ACB=90°，∠AED=90°，∠ADE=∠FDC，
∴∠A=∠F，
∴∠ADG=∠FBD，
在△ADG和△FDB中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADG=∠FBD}\\{DG=DB}\\{∠AGD=∠FDB}\end{array}\right.$
∴△ADG≌△FDB，
∴AG=DF；


（2）∵DE=EB，EG=EB，
∴DE=EB=EG，∵DE⊥AB，
在△AED和△FEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠M}\\{∠AED=∠MEG}\\{ED=EG}\end{array}\right.$
∴△AED≌△MEB，
∴AE=EM，
∴AE+EB=EM+DE，
即AB=DM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．