Question

5．菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F點(diǎn)，下列結(jié)論：
（1）BF為∠ABE的角平分線；
（2）DF=2BF；
（3）2AB²=DF•DB；
（4）sin∠BAE=$\frac{EF}{AF}$．
其中正確的結(jié)論為（1）（3）（4）（填序號(hào)）

Answer 1

分析 （1）正確．根據(jù)菱形性質(zhì)即可判定．
（2）錯(cuò)誤．假設(shè)成立推出矛盾即可．
（3）正確．由△ADO∽△FDA，得$\frac{AD}{DF}$=$\frac{DO}{AD}$，AD²=DO•DF，兩邊乘2即可得到證明
（4）正確．由AD∥BC，得$\frac{EF}{AF}$=$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BE}{AB}$，又sin∠BAE=$\frac{EB}{AB}$，由此即可證明．

解答 解：連接AC交BD于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC，BD⊥AC，DO=OB，故（1）正確，
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AD⊥AE，
∵∠ADO=∠ADF，∠AOD=∠DAF=90°，
∴△ADO∽△FDA，
∴$\frac{AD}{DF}$=$\frac{DO}{AD}$，
∴AD²=DO•DF，
∴2AD²=2DO•DF，
∵AB=AD，BD=2DO，
∴2AB²=DF•DB，故（3）正確，
∵AD∥BC，
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BE}{AB}$，
∵sin∠BAE=$\frac{EB}{AB}$，
∴sin∠BAE=$\frac{EF}{AF}$，故（4）正確．
∵$\frac{DF}{BF}$=$\frac{AD}{BE}$，
如果DF=2BF，那么AD=2BE，所以BE=EC，這個(gè)顯然不可能，故②錯(cuò)誤，
∴正確的有（1）（3）（4）
故答案為（1）（3）（4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．