Question

16．如圖，正三角形ABC的邊長是2，分別以點(diǎn)B，C為圓心，以r為半徑作兩條弧，設(shè)兩弧與邊BC圍成的陰影部分面積為S，當(dāng)r=$\sqrt{2}$時(shí)，S為$\frac{π}{2}$-1．

Answer 1

分析 首先求出S關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，分析其增減性；然后根據(jù)r的取值，求出S的最大值與最小值，從而得到S的取值．

解答 解：如右圖所示，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，易知G為BC的中點(diǎn)，CG=1，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG=$\sqrt{C{D}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{{r}^{2}-1}$，
設(shè)∠DCG=θ，則由題意可得：
S=2（S_扇形CDE-S_△CDG）=2（$\frac{θ•{r}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{{r}^{2}-1}$）=$\frac{θπ{r}^{2}}{180}$-$\sqrt{{r}^{2}-1}$，
∴S=$\frac{θπ{r}^{2}}{180}$-$\sqrt{{r}^{2}-1}$．
當(dāng)r增大時(shí)，∠DCG=θ隨之增大，故S隨r的增大而增大．
當(dāng)r=$\sqrt{2}$時(shí)，DG=1，∵CG=1，故θ=45°，
∴S=$\frac{45π•（\sqrt{2}）^{2}}{180}$-$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-1}$=$\frac{π}{2}$-1，
故答案為：$\frac{π}{2}$-1．

點(diǎn)評 本題考查扇形面積的計(jì)算、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)．解題關(guān)鍵是求出S的函數(shù)表達(dá)式．