Question

19．如圖，矩形ABCD中，點A（1，1）、B（3，1），C（3，6），反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點D，且與BC交于點P．
（1）直接寫出點D的坐標(biāo)和m的值；
（2）求直線DP的解析式；
（3）求直線DP與坐標(biāo)軸交于E、F點，求△OEF與△DPC面積的之比；
（4）若點M在矩形ABCD的邊上，且S_△DPM=S_△DPC，直接寫出點M的坐標(biāo)為（1，2）或（$\frac{3}{2}$，1）．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)和點的坐標(biāo)特征得出D（1，6）；把D（1，6）代入反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$得出m=6；
（2）求出點P的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出直線DP的解析式即可；
（3）求出點E和F的坐標(biāo)，求出△OEF和△DPC的面積，即可得出答案；
（4）分兩種情況：①當(dāng)點M在AD邊上時，得出AM=BP=1，點M（1，2）；
②當(dāng)點M在AB邊上時，設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，1），由三角形的面積得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵矩形ABCD中，點A（1，1）、B（3，1），C（3，6），
∴CD=AB=2，AD=BC=5，
∴D（1，6）；
把D（1，6）代入反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$得：m=6×1=6；   
（2）由（1）可得：拋物線解析式為y=$\frac{6}{x}$，
當(dāng)x=3時，y=2，
∴P（3，2）．                 
設(shè)直線DP的解析式為：y=kx+b，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線DP的解析式為：y=-2x+8．   
（3）∵直線DP的解析式為：y=-2x+8，
∴E（4，0），F(xiàn)（0，8）．
∴OE=4，OF=8，
∴△OEF的面積=$\frac{1}{2}$OE•OF=$\frac{1}{2}$×4×8=16．           
∵DC=2，CP=5-1=4，
∴△DPC的面積=$\frac{1}{2}$DC•CP=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
∴△OEF與△DPC面積的之比=16：4=4：1．                  
（4）分兩種情況：①當(dāng)點M在AD邊上時，
∵S_△DPM=S_△DPC，
∴AM=BP=1，
∴點M（1，2）；
②當(dāng)點M在AB邊上時，如圖所示：
設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，1），
∵S_△DPM=S_△DPC，
∴$\frac{1}{2}$（1+5）×2-$\frac{1}{2}$×5×（x-1）-$\frac{1}{2}$×1×（3-x）=4，
解得：x=$\frac{3}{2}$，∴M（$\frac{3}{2}$，1）；
綜上所述：點M的坐標(biāo)為（1，2）或（$\frac{3}{2}$，1）；
故答案為：（1，2）或（$\frac{3}{2}$，1）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形的面積，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．