Question

11．已知關(guān)于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的兩實(shí)數(shù)根之和不小于-6
（1）求k的取值范圍；
（2）若以方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的兩個(gè)根為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點(diǎn)恰在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$ 的圖象上，求滿足條件的m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍．
（2）寫(xiě)出兩根之積，兩根之積等于m，進(jìn)而求出m的最小值，再根據(jù)k的范圍即可求出答案．

解答 解：（1）由題意得△=[-2（k-3）]²-4×（k²-4k-1）≥0
化簡(jiǎn)得-2k+10≥0，解得k≤5，
∵關(guān)于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的兩實(shí)數(shù)根之和不小于-6，
∴2（k-3）≥-6，
解得：k≥0，
即k的取值范圍是0≤k≤5；

（2）設(shè)方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，
根據(jù)題意得m=x₁x₂，
又∵由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得x₁x₂=k²-4k-1，
那么m=k²-4k-1=（k-2）²-5，所以，當(dāng)k=2時(shí)m取得最小值-5，
∵由（1）知：0≤k≤5，
∴當(dāng)k=0時(shí)，m=（0-2）²-5=-1，當(dāng)k=5時(shí)，m=（5-2）²-5=4，
∴m的取值范圍是-5≤m≤4，
∵反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$，
∴m≠0，
綜合上述，m的取值范圍為-5≤m≤4且m≠0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根的判別式等知識(shí)點(diǎn)，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，是一個(gè)綜合性的題目，也是一個(gè)難度中等的題目．總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．