Question

4．酒駕猛于虎，但很多人不以為是，為了加強(qiáng)人們對(duì)酒駕危害的認(rèn)識(shí)，交警部門(mén)加大了對(duì)酒駕的檢查力度．某市交警在2015年2月28日這天對(duì)本市各大主要交通路口進(jìn)行車(chē)輛檢查，如圖，AC是該市解放路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，與解放路AC的交叉路口分別是A，B，C．已知出警點(diǎn)D位于點(diǎn)A的北偏東45°方向、點(diǎn)B的北偏東30°方向上，BD=2km，∠DBC=30°．
（1）求A、B的距離；
（2）第一組交警負(fù)責(zé)路口A，求該組從出警點(diǎn)D到路口A的路程（行駛路線為D--C--B--A）．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可以證明：∠DAB=∠ADB，根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明AB=BD從而求解；
（2）過(guò)B作BO⊥DC，交直線DC于點(diǎn)O，在Rt△DBO中，利用三角函數(shù)即可求得DO的長(zhǎng)，再在Rt△CBO中通過(guò)解直角三角形即可求得CD的長(zhǎng)，即可求解．

解答 解：（1）如圖，由題意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°，∠DBC=30°，
∴∠FBC=∠FBD+∠DBC=30°+30°=60°．
∵AE∥BF∥CD，
∴∠FBC=∠EAC=60°，
∴∠DAB=15°，
又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，∠DBC=30°，
∴∠ADB=15°，
∴∠DAB=∠ADB，
∴AB=BD=2km．
即A，B之間的距離為2km；

（2）過(guò)B作BO⊥DC，交直線DC于點(diǎn)O，
∵BF∥CD，
∴∠FBD=∠BDC=30°，
在Rt△DBO中，∵∠BOD=90°，BD=2，
∴DO=2×cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，BO=2×sin30°=1．
在Rt△CBO中，∵∠BOC=90°，∠CBO=30°，
∴CO=BOtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=DO-CO=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（km）．
∵∠BDC=∠DBC=30°，
∴CD=BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴該組從出警點(diǎn)D到路口A的路程即D-C-B-A的行駛距離為（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+2）km．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了解直角三角形-方向角問(wèn)題，解一般三角形，求三角形的邊或高的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．