Question

14．如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點E、F分別是AB、AD上任意的點（不與端點重合），且AE=DF，連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H．給出如下幾個結(jié)論：
①△AED≌△DFB；②S_{四邊形BCDG}=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CG²；③若AF=2DF，則BG=6GF；④CG與BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小為定值．
其中正確的結(jié)論個數(shù)為（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 ①先證明△ABD為等邊三角形，根據(jù)“SAS”證明△AED≌△DFB；
②證明∠BGE=60°=∠BCD，從而得點B、C、D、G四點共圓，因此∠BGC=∠DGC=60°，過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．證明△CBM≌△CDN，所以S_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN}，易求后者的面積；
③過點F作FP∥AE于P點，根據(jù)題意有FP：AE=DF：DA=1：3，則FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；
④因為點E、F分別是AB、AD上任意的點（不與端點重合），且AE=DF，當(dāng)點E，F(xiàn)分別是AB，AD中點時，CG⊥BD；
⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°．

解答 解：①∵ABCD為菱形，∴AB=AD，
∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，
∴∠A=∠BDF=60°，
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB，故本選項正確；

②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴點B、C、D、G四點共圓，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，
∴∠BGC=∠DGC=60°，
過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），
則△CBM≌△CDN（AAS），
∴S_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN，}
S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=$\frac{1}{2}$CG，CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CG，
∴S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$CG×$\frac{\sqrt{3}}{2}$CG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$CG²，故本選項錯誤；

③過點F作FP∥AE交DE于P點（如圖2），
∵AF=2FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=2AE，
∴FP：BE=FP：2AE=1：6，
∵FP∥AE，
∴PF∥BE，
∴FG：BG=FP：BE=1：6，
即BG=6GF，故本選項正確；

④當(dāng)點E，F(xiàn)分別是AB，AD中點時（如圖3），
由（1）知，△ABD，△BDC為等邊三角形，
∵點E，F(xiàn)分別是AB，AD中點，
∴∠BDE=∠DBG=30°，
∴DG=BG，
在△GDC與△BGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BG}\\{CG=CG}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△GDC≌△BGC，
∴∠DCG=∠BCG，
∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項錯誤；

⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，為定值，
故本選項正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①③⑤，共3個，
故選B．

點評 此題綜合考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形，把不規(guī)則圖形的面轉(zhuǎn)化為兩個全等三角形的面積是解題的關(guān)鍵．