Question

2．如圖，AB是⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，PC切⊙O于點C，AF⊥PC，垂足是點F，AF交⊙O于點E，PB=2，PC：OE=$\sqrt{3}$：1，
（1）求AC的長度；
（2）求CF•EF的值．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質(zhì)得OC⊥PC，設(shè)PC=$\sqrt{3}$x，OE=x，則OC=OB=x，根據(jù)勾股定理得到PO=2x，則x+2=2x，可解得x=2，于是得到PC=2$\sqrt{3}$，OC=2，OP=4，然后證明∠P=∠PAC=30°，從而得到AC=PC=2$\sqrt{3}$；
（2）連結(jié)CE，如圖，先證明∠FAC=∠OCA=30°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CF=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，再證明∠FCE=30°，于是可計算出EF，然后計算CF與EF的乘積．

解答 解：（1）∵PC切⊙O于點C，
∴OC⊥PC，
設(shè)PC=$\sqrt{3}$x，OE=x，則OC=OB=x，
在Rt△POC中，PO=$\sqrt{{x}^{2}+（\sqrt{3}x）^{2}}$=2x，
而OB+PB=OP，
∴x+2=2x，解得x=2，
∴PC=2$\sqrt{3}$，OC=2，OP=4，
∴∠P=30°，∠POC=60°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠POC=∠OAC+∠OCA=60°，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠P=∠PAC，
∴AC=PC=2$\sqrt{3}$；
（2）連結(jié)CE，如圖，
∵AF⊥PF，OC⊥PF，
∴AF∥OC，
∴∠FAC=∠OCA=30°，
在Rt△AFC中，CF=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∵∠COF=2∠EAC=60°，
∴△OCE為等邊三角形，
∴∠OCE=60°，
∴∠FCE=30°，
在Rt△CEF中，EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CF=1，
∴CF•EF=$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．解決本題的關(guān)鍵是確定∠P為30°．