Question

1．如圖，已知梯形ABCD的面積為S，AD∥BC，BC=b，AD=a（a＜b），對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O．若△COD的面積為$\frac{2}{9}$S，則$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 依據(jù)題意可先作出簡(jiǎn)單的圖形，可設(shè)S_△AOD的面積為S₁，S_△COB的面積為S₂，由題中條件建立關(guān)于S₁•S₂的方程，解方程得出S₁•S₂之間的關(guān)系，進(jìn)而可求解a、b之間的關(guān)系．

解答 解：如圖，
設(shè)S_△AOD的面積為S₁，S_△COB的面積為S₂，由S_{四邊形ABCD}=S，
∵AB∥CD，
∴S_△ABC=S_△DBC，
∴S_△ABC-S_△BOC=S_△BCD-S_△COB，
∴S_△AOB=S_△DOC=$\frac{2}{9}$S，得S₁+S₂=S-2×$\frac{2}{9}$S=$\frac{5}{9}$S，①
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{△COD}}$=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{2}}$，
∴S₁•S₂=S_△DOC•S_△AOB=$\frac{4}{81}$S²，②
聯(lián)立①、②$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}+{S}_{2}=\frac{5}{9}S}\\{{S}_{1}•{S}_{2}=\frac{4}{81}{S}^{2}}\end{array}\right.$，
∵△AOD∽△COB，∴$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$，③
∵a＜b，∴S₁＜S₂，解方程組得S₁=$\frac{1}{9}$S，S₂=$\frac{4}{9}$S，
代入③得$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了梯形的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)以及面積的問題，能夠通過方程的思想建立等式，進(jìn)而求解結(jié)論．