Question

6．如圖，△AOB中，∠AOB=90°，AO=6，BO=8，將△AOB繞頂點O逆時針旋轉到△A₁OB₁處，此時線段OB₁與AB的交點D恰好為AB的中點，則線段BB₁的長度為$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 A₁B₁與OA相交于點E，作B₁H⊥OB于點H，如圖，利用勾股定理得到AB=10，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得OD=AD=DB，則∠1=∠A，接著根據(jù)旋轉的性質(zhì)得∠3=∠2，A₁B₁=AB=10，OB₁=OB=8，OA₁=OA=6，易得∠2+∠1=90°，所以∠OEB₁=90°，于是可利用面積法計算出OE=$\frac{24}{5}$，則可根據(jù)勾股定理計算出B₁E=$\frac{32}{5}$，再由四邊形OEB₁H為矩形得到B₁H=OE=$\frac{24}{5}$，OH=EB₁=$\frac{32}{5}$，得到BH=OB-OH=$\frac{8}{5}$，然后在Rt△B₁BH中利用勾股定理可計算出BB₁的長．

解答 解：A₁B₁與OA相交于點E，作B₁H⊥OB于點H，如圖，
∵∠AOB=90°，AO=6，BO=8，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵D為AB的中點，
∴OD=AD=DB，
∴∠1=∠A，
∵△AOB繞頂點O逆時針旋轉得到△A₁OB₁，
∴∠3=∠2，A₁B₁=AB=10，OB₁=OB=8，OA₁=OA=6，
∵∠3+∠A=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠OEB₁=90°，
∵$\frac{1}{2}$OE•A₁B₁=$\frac{1}{2}$OB₁•OA₁，
∴OE=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
在Rt△OEB₁中，B₁E=$\sqrt{{8}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{32}{5}$，
易得四邊形OEB₁H為矩形，
∴B₁H=OE=$\frac{24}{5}$，OH=EB₁=$\frac{32}{5}$，
∴BH=OB-OH=$\frac{8}{5}$，
在Rt△B₁BH中，BB₁=$\sqrt{（\frac{24}{5}）^{2}+（\frac{8}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．
故答案為$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了旋轉的性質(zhì)：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．