Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）求證：BC²=BD•BA；
（3）當(dāng)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，判斷△ABC的形狀（直接寫出，不證明）．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)證明∠ODE=90°即可解決問題；
（2）通過證明△BCD∽△BAC，利用相似比得到結(jié)論；
（3）證明∠B=45°，∠A=45°，進(jìn)而證明AC=BC即可解決問題．

解答 （1）證明：連接CD，OC，
∵AC是直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
又∵EB=EC，
∴DE為直角△DCB斜邊的中線，
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠DCE=∠CDE，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切線；

（2）證明：∵AC是⊙O是直徑，
∴CD⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，
即BC²=BD•BA，

（3）解：△ABC是等腰直角三角形
當(dāng)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，則∠DEB=90°，
又∵DE=BE，
∴△DEB是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，∠A=45°，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．