Question

16．已知：如圖1，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）．
（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形，證明你的結論．
（2）如圖2，請連接四邊形ABCD的對角線AC與BD，當AC與BD滿足互相垂直條件時，四邊形EFGH是矩形；證明你的結論．
（3）你學過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形？說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知當四邊形ABCD的對角線滿足AC⊥BD的條件時，四邊形EFGH是矩形；
（3）菱形的中點四邊形是矩形．根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根據(jù)矩形的每一個角都是直角可得∠1=90°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3=90°，再根據(jù)垂直定義解答．

解答 解：（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：
如圖1，連結BD．
∵E、H分別是AB、AD中點，
∴EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，
同理FG∥BD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）當四邊形ABCD的對角線滿足互相垂直的條件時，四邊形EFGH是矩形．理由如下：
如圖2，連結AC、BD．
∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴平行四邊形EFGH是矩形；

（3）菱形的中點四邊形是矩形．理由如下：
如圖3，連結AC、BD．
∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，
∴EH∥BD，HG∥AC，F(xiàn)G∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EH∥BD，HG∥AC，
∴EH⊥HG，
∴平行四邊形EFGH是矩形．
故答案為：平行四邊形；互相垂直．

點評 本題主要考查對三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，熟練掌握各定理是解決此題的關鍵．