Question

6．如圖，已知半徑是9的⊙O₁和半徑是4的⊙O₂外切，過P點同時作⊙O₁和⊙O₂的切線PM、PN切點分別是A、B、C、D．
（1）求AB的長？
（2）求PB+PC的值？

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接O₁O₂，O₁B，O₂A，過O₂作O₂E⊥BO₁于E，由PM切⊙O₁，⊙O₂于B，A，得到O₁B⊥AB，O₂A⊥AB，于是求得四邊形ABEO₂是矩形，推出AB=O₂E，BE=AO₂=4，然后根據勾股定理即可得到結果；
（2）如圖2，連接PO₁，O₁B，O₂A，由于PM，PN切⊙O₁，⊙O₂于B，A，D，C，得到O₁B⊥AB，O₂A⊥AB，PA=PC，求得O₁B∥AO₂，推出△PAO₂∽△PBO₁，列出比例式即可得到結論．

解答 解：（1）如圖1，連接O₁O₂，O₁B，O₂A，過O₂作O₂E⊥BO₁于E，
∵PM切⊙O₁，⊙O₂于B，A，
∴O₁B⊥AB，O₂A⊥AB，
∴四邊形ABEO₂是矩形，
∴AB=O₂E，BE=AO₂=4，
∴EO₁=9-4=5，
∵⊙O₁和⊙O₂外切，
∴O₁O₂=9+4=13，
∴O₂E²=O₁O₂²-O₁E²，
∴O₁E=12，
∴AB=12；

（2）如圖2，連接PO₁，O₁B，O₂A，
∵PM，PN切⊙O₁，⊙O₂于B，A，D，C，
∴O₁B⊥AB，O₂A⊥AB，PA=PC，
∴P，O₁，O₂在同一條直線上，O₁B∥AO₂，
∴△PAO₂∽△PBO₁，
∴$\frac{PA}{PB}=\frac{A{O}_{2}}{B{O}_{1}}$，
即$\frac{PA}{PA+12}=\frac{4}{9}$，
∴PA=$\frac{48}{5}$，
∴PC=$\frac{48}{5}$，PB=$\frac{48}{5}$+12=$\frac{108}{5}$，
∴PB+PC=$\frac{48}{5}$+$\frac{108}{5}$=$\frac{156}{5}$．

點評 本題考查了切線的性質，相切兩圓的性質，相似三角形的判定和性質，矩形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．