Question

3．如圖①，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8，AD=6．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D、A同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)C、B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）
（1）當(dāng)t=2時(shí)，PQ的長(zhǎng)為2$\sqrt{10}$；
（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若△BPQ為等腰三角形，求相應(yīng)的時(shí)刻t；
（3）如圖②，連接BD，是否存在某個(gè)時(shí)刻t，使得PQ垂直平分BD？若能，求t的值；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）作PH⊥AB于H，求出QH、PH，根據(jù)勾股定理求出PQ；
（2）分PQ=PB、BP=BQ和QP=QB三種情況進(jìn)行分析即可；
（3）假設(shè)存在某個(gè)時(shí)刻t，使得PQ垂直平分BD，進(jìn)行解答，看t是否存在即可．

解答 解：（1）如圖①，作PH⊥AB于H，
由題意得，DP=4，AQ=2，
則QH=2，又PH=AD=6，
由勾股定理的，PQ=$\sqrt{P{H}^{2}+Q{H}^{2}}$=2$\sqrt{10}$；
（2）當(dāng)PQ=PB時(shí)，
如圖①，QH=BH，
則t+2t=8，
解得，t=$\frac{8}{3}$；
當(dāng)PQ=BQ時(shí)，
（2t-t）²+6²=（8-t）²，
解得，t=$\frac{7}{4}$；
當(dāng)BP=BQ時(shí)，
（8-2t）²+6²=（8-t）²，
方程無(wú)解；
∴當(dāng)t=$\frac{8}{3}$或$\frac{7}{4}$時(shí)，△BPQ為等腰三角形；
（3）假設(shè)PQ垂直平分BD，則QB=QD，PD=PB，
在Rt△ADQ中，t²+36=（8-t）²，
解得，t=$\frac{7}{4}$，
在Rt△CPB中，（8-2t）²+36=（2t）²，
解得，t=$\frac{25}{8}$，
∴不存在某個(gè)時(shí)刻t，使得PQ垂直平分BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用．