Question

2．如圖，已知二次函數(shù)y₁=-x²+$\frac{13}{4}$x+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（4，0），與y軸的交點(diǎn)為B，過(guò)A、B的直線為y₂=kx+b．
（1）求二次函數(shù)y₁的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由圖象寫出滿足y₁＜y₂的自變量x的取值范圍；
（3）在兩坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量為零，可得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)一次函數(shù)圖象在上方的部分是不等式的解集，可得答案；
（3）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩點(diǎn)間的距離相等，可得P在線段的垂直平分線上，根據(jù)直線AB，可得AB的垂直平分線，根據(jù)自變量為零，可得P在y軸上，根據(jù)函數(shù)值為零，可得P在x軸上．

解答 解：（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入y₁，得
-16+13+c=0．
解得c=3，
二次函數(shù)y₁的解析式為y=-x²+$\frac{13}{4}$x+3，
B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；
（2）由圖象得直線在拋物線上方的部分，是x＜0或x＞4，
∴x＜0或x＞4時(shí)，y₁＜y₂；
（3）直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
AB的中點(diǎn)為（2，$\frac{3}{2}$）
AB的垂直平分線為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{7}{6}$
當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{7}{6}$，P₁（0，-$\frac{7}{6}$），
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{7}{8}$，P₂（$\frac{7}{8}$，0），
綜上所述：P₁（0，-$\frac{7}{6}$），P₂（$\frac{7}{8}$，0），使得△ABP是以AB為底邊的等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了二次函數(shù)綜合題，（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用函數(shù)與不等式的關(guān)系求不等式的解集；（3）利用線段垂直平分線的性質(zhì)，利用直線AB得出AB的垂直平分線是解題關(guān)鍵．