Question

10．如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，DC⊥AB于點(diǎn)C，且AC=DC，點(diǎn)E在線段DC上，且CE=CB．
（1）求證：△ACE≌△DCB；
（2）如圖2，延長(zhǎng)BE到F，使DF∥AB，連接CF，當(dāng)CD=2CE時(shí)，求證：AE⊥CF；
（3）如圖3，延長(zhǎng)BE到f，使DF∥AB，連接AF，若CD=nCE（n＞1）時(shí)，設(shè)△AEF的面積為S₁，△BDE的面積為S₂，試探究S₁與S₂之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，由DC⊥AB可得∠ACE=∠DCB=90°，然后根據(jù)SAS就可解決問(wèn)題；
（2）延長(zhǎng)AE交BD于H，如圖2，由△ACE≌△DCB可推出∠EHD=90°（即AE⊥DB），要證AE⊥CF，只需證FC∥DB，只需證四邊形BCFD是平行四邊形即可；
（3）設(shè)S_△BCE=S，如圖3，由CD=nCE可得$\frac{DE}{CE}$=n-1，根據(jù)等高三角形的面積比等于底的比可得S_△BDE=（n-1）S，進(jìn)而得到S_△DCB=nS，S_△AEB=（n+1）S，由DF∥AB根據(jù)平行線分線段成比例可得$\frac{FE}{BE}$=$\frac{DE}{CE}$=n-1，則有$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△AEB}}$=$\frac{EF}{BE}$=n-1，即可得到S_△AEF=（n-1）（n+1）S，即可得到S₁與S₂之間的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）如圖1，

∵DC⊥AB，∴∠ACE=∠DCB=90°．
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CD}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB；

（2）延長(zhǎng)AE交BD于H，如圖2．

∵CD=2CE，∴DE=CE．
∵DF∥AB，∴∠DFE=∠CBE．
在△DEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFE=∠CBE}\\{∠DEF=∠CEB}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CEB，
∴EF=EB．
又∵DE=CE，
∴四邊形BCFD是平行四邊形，
∴FC∥DB．
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB．
∵∠CAE+∠AEC=90°，∠AEC=∠DEH，
∴∠CDB+∠DEH=90°，
∴∠EHD=90°，即AH⊥BD．
∵FC∥DB，
∴AH⊥FC，即AE⊥CF；

（3）S₁=（n+1）S₂．
理由：設(shè)S_△BCE=S，如圖3．

∵CD=nCE，
∴DE=CD-CE=（n-1）CE．
∴$\frac{{S}_{△BDE}}{{S}_{△BCE}}$=$\frac{DE}{CE}$=n-1，
∴S_△BDE=（n-1）S，
∴S_△DCB=S_△BDE+S_△BCE=（n-1）S+S=nS．
∵△ACE≌△DCB，
∴S_△ACE=S_△DCB=nS，
∴S_△AEB=nS+S=（n+1）S．
∵DF∥AB，
∴$\frac{FE}{BE}$=$\frac{DE}{CE}$=n-1，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△AEB}}$=$\frac{EF}{BE}$=n-1，
∴S_△AEF=（n-1）S_△AEB=（n-1）（n+1）S．
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△BDE}}$=$\frac{（n-1）（n+1）S}{（n-1）S}$=n+1，
∴S₁=（n+1）S₂．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等高三角形的面積比等于底的比等知識(shí)，由△ACE≌△DCB推出∠EHD=90°是解決第（2）小題的關(guān)鍵，由△ACE≌△DCB得到S_△ACE=S_△DCB是解決第（3）小題的關(guān)鍵．