Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=3，O為AB中點(diǎn)，則半徑為

3

2

2

，圓心落在點(diǎn)O的圓形紙片能蓋住△ABC的部分面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算

專題：計(jì)算題

分析：⊙O交BC于E、F，交AB于M、N，作OH⊥EF于H，連結(jié)OE、OF，如圖，先根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠B=30°，且OB=

1

2

AB=3，在Rt△BOH中，利用∠B=30°得到OH=

1

2

OB=

3

2

，∠BOH=60°，接著在Rt△OHF中利用勾股定理計(jì)算出HF=

3

2

，于是可判斷△OHF為等腰直角三角形，所以∠HOF=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由OH⊥EF得到∠EOH=∠FOH=45°，EH=FH=

3

2

，則可計(jì)算出∠NOF=15°，∠MOE=75°，然后根據(jù)扇形的面積公式和圓心落在點(diǎn)O的圓形紙片能蓋住△ABC的部分面積=S_扇形MOE+S_△EOF+S_扇形NOF進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：⊙O交BC于E、F，交AB于M、N，作OH⊥EF于H，連結(jié)OE、OF，如圖，
∵∠C=90°，AB=6，AC=3，
∴∠B=30°，
∵O為AB中點(diǎn)，
∴OB=

1

2

AB=3，
在Rt△BOH中，∵∠B=30°
∴OH=

1

2

OB=

3

2

，∠BOH=60°，
在Rt△OHF中，∵OF=

3 2

2

，OH=

3

2

，
∴HF=

OF2-OH2

=

3

2

，
∴△OHF為等腰直角三角形，
∴∠HOF=45°，
∵OH⊥EF，
∴∠EOH=∠FOH=45°，EH=FH=

3

2

，
∴∠NOF=60°-45°=15°，
∴∠MOE=90°-15°=75°，
∴圓心落在點(diǎn)O的圓形紙片能蓋住△ABC的部分面積=S_扇形MOE+S_△EOF+S_扇形NOF
=

75•π•( 3 2 2 )2

360

+

1

2

•3•

3

2

+

15•π•( 3 2 2 )2

360

=

9

8

π+

9

4

．
故答案為

9

8

π+

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形面積的計(jì)算：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S_扇形=

360

n

πR²或S_扇形=

1

2

lR（其中l(wèi)為扇形的弧長(zhǎng)）．求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．