Question

16．已知四邊形ABCD是正方形，M、N分別是邊BC、CD上的動點，正方形ABCD的邊長為4cm
（1）如圖①，O就正方形ABCD對角線的交點，若OM⊥ON，求四邊形MONC的面積；
（2）連接線段MN，探究當MN取到最小值時，判斷MN與對角線BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出OC=OB，∠DCO=∠CBO=45°，∠COB=90°，求出∠NOC=∠BOM，根據(jù)ASA證△NOC≌△MOB，得出四邊形MONC的面積等于三角形COB的面積，根據(jù)正方形的面積求出即可；
（2）由于△MON為等腰直角三角形，要使MN取到最小值，則OM、ON最小即可，只要當OM⊥BC，ON⊥CD時，符合要求，由此利用三角形的中位線定理，進一步證得MN∥BD，MN=$\frac{1}{2}$BD即可．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OC=OB，∠DCO=∠CBO=45°，∠COB=90°，
∵ON⊥OM，
∴∠NOM=90°，
∴∠COB-∠COM=∠NOM-∠COM，
∴∠CON=∠BOM，
∵在△CON和△BOM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NCO=∠MBO}\\{OC=OB}\\{∠NOC=∠MOB}\end{array}\right.$，
∴△CON≌△BOM（ASA），
∴S_△NCO=S_△BOM，
∴S_{四邊形MONC}
=S_△NOC+S_△COM
=S_△BOM+S_△COM
=S_△COB=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}
=$\frac{1}{4}$×4cm×4cm
=4cm²，
答：四邊形MONC的面積是4cm²．
（2）當MN取到最小值時，MN∥BD，MN=$\frac{1}{2}$BD．
理由：MN取到最小值，則OM、ON最小，
當OM⊥BC，ON⊥CD時，OM、ON最小，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OC=OD=OB，∠COD=∠COB=90°，
∵OM⊥BC，ON⊥CD，
∴ON=$\frac{1}{2}$CD，OM=$\frac{1}{2}$BC，
∴MN∥BD，MN=$\frac{1}{2}$BD．

點評 本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，等腰直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，以及三角形的中位線定理，知識綜合性較強，靈活運用知識，結(jié)合圖形解決問題．