Question

10．探究一個(gè)問題：任意給定一矩形A，是否存在另一個(gè)矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形A的周長和面積的一半．
（1）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請說明是否存在滿足要求的矩形B？
（2）如果已知矩形A的邊長分別是m和n，試研究m，n滿足什么條件時(shí)，矩形B存在？
（3）如圖，是一次函數(shù)和反比例函數(shù)的部分圖象，其中x和y分別表示矩形B的兩邊長，請你結(jié)合剛才的研究，回答下列問題：
①滿足條件的矩形A的兩邊長為5+$\sqrt{17}$和5-$\sqrt{17}$；
②滿足條件的矩形B的兩邊長為1和4．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)存在，不妨設(shè)“減半”矩形的長為x、寬為y，根據(jù)如果存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，可列出方程組求解．
（2）設(shè)所求矩形的長為x、寬為y，將兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立后得到方程組，利用方程△≥0時(shí)，存在這樣的矩形即可．
（3）設(shè)周長為k，面積為S，由x和y分別表示矩形B的兩邊長，根據(jù)圖象求得周長k和面積S；
①設(shè)矩形A的長為m、寬n，根據(jù)題意列出方程組，即可求解，
②根據(jù)圖象即可求得．

解答 解：（1）不存在．
假設(shè)存在，不妨設(shè)矩形B的長為x、寬為y，
則$\left\{\begin{array}{l}{x+y=\frac{3}{2}}\\{xy=1}\end{array}\right.$，
消元得：x²-$\frac{3}{2}$x+1=0，
b²-4ac=$\frac{9}{4}$-4＜0，
所以矩形B不存在；
（2）設(shè)所求矩形的長為x、寬為y，
∵已知矩形的長為m、寬是n，新矩形的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半，
∴$\left\{\begin{array}{l}{xy=\frac{mn}{2}}\\{x+y=\frac{m+n}{2}}\end{array}\right.$
消元得x²-$\frac{1}{2}$（m+n）x+$\frac{1}{2}$mn=0，
△=[$\frac{1}{2}$（m+n）]²-4×$\frac{1}{2}$mn≥0，即：m²+n²-8mn≥0，
∴當(dāng)m²+n²-8mn≥0時(shí)，存在另一個(gè)矩形使它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半；
（3）設(shè)周長為k，面積為S，由x和y分別表示矩形B的兩邊長，
∴x+y=$\frac{k}{2}$，xy=2S，
∴y=-x+$\frac{k}{2}$，y=$\frac{2S}{4}$，
∵得（4，1）在函數(shù)y=-x+$\frac{k}{2}$和y=$\frac{2m}{x}$的圖象上，
∴1=-4+$\frac{k}{2}$，1=$\frac{2m}{4}$，
解得k=10，S=2，
∵B的周長和面積分別是已知矩形A的周長和面積的一半．
①設(shè)矩形A的長是m、寬是n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2（m+n）=20}\\{\frac{1}{2}mn=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5+\sqrt{17}}\\{n=5-\sqrt{17}}\end{array}\right.$，
∴矩形A的兩邊長為5+$\sqrt{17}$和5-$\sqrt{17}$；
②由圖象可知滿足條件的矩形B的兩邊長為1和4．
故答案為5+$\sqrt{17}$，5-$\sqrt{17}$；1，4．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是會靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象交點(diǎn)的意義，以及圖象的特點(diǎn)，試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請注意體會．