Question

20．如圖，直線y=ax+b與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），與x軸交于點(diǎn)P（x₀，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）若b=3，x₀=6，且AB=BP，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）猜想x₁，x₂，x₀之間的關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）由b=3即點(diǎn)P坐標(biāo)（6，0）可得出直線的解析式，令y=ax+b=$\frac{k}{x}$，解關(guān)于x的方程，即可得出x₁、x₂的值，結(jié)合AB=BP即可得出關(guān)于k的方程，解方程即可得出k值，代入到x₁、x₂中即可得出A、B的橫坐標(biāo)，結(jié)合直線的解析式即能得出結(jié)論；
（2）猜測(cè)x₁+x₂=x₀．令y=ax+b=$\frac{k}{x}$，用含a、b、k的代數(shù)式來(lái)表示出x₁、x₂，再令直線y=ax+b=0，用a、b表示出來(lái)x₀，將x₁、x₂相加即可證明結(jié)論成立．

解答 解：（1）當(dāng)b=3，x₀=6時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0），
將點(diǎn)P代入y=ax+3中得：0=6a+3，
解得：a=-$\frac{1}{2}$．
∴直線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3．
令y=-$\frac{1}{2}$x+3=$\frac{k}{x}$，即$\frac{1}{2}$x²-3x+k=0，
解得：x₁=$\frac{-（-3）-\sqrt{9-2k}}{2×\frac{1}{2}}$=3-$\sqrt{9-2k}$，x₂=3+$\sqrt{9-2k}$，
∵AB=BP，
∴3+$\sqrt{9-2k}$-（3-$\sqrt{9-2k}$）=6-（3+$\sqrt{9-2k}$），
解得：k=4．
此時(shí)x₁=2，x₂=4，
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．
（2）猜測(cè)x₁+x₂=x₀．
證明：（方法一）令y=ax+b=$\frac{k}{x}$，即ax²+bx-k=0，
解得：x₁=$\frac{-b-\sqrt{^{2}+4ak}}{2a}$，x₂=$\frac{-b+\sqrt{^{2}+4ak}}{2a}$．
令y=ax+b=0，解得：x₀=-$\frac{a}$．
∴x₁+x₂=$\frac{-b-\sqrt{^{2}+4ak}}{2a}$+$\frac{-b+\sqrt{^{2}+4ak}}{2a}$=-$\frac{a}$=x₀．
（方法二）令y=ax+b=$\frac{k}{x}$，即ax²+bx-k=0，
則x₁+x₂=-$\frac{a}$．
令y=ax+b=0，解得：x₀=-$\frac{a}$．
∴x₁+x₂=x₀=-$\frac{a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題以及求根公式，解題的關(guān)鍵是：（1）結(jié)合AB=BP得出關(guān)于k的方程；（2）用求根公式表示出來(lái)x₁、x₂，再令y=0找出x₀．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，由求根公式表示出x的值是關(guān)鍵．