Question

1．如圖，直線l₁∥l₂，直線l與l₁、l₂分別交于A、B兩點，點M、N分別在l₁、l₂上，點M、N、P均在l的同側(cè)（點P不在l₁、l₂上），若∠PAM=α，∠PBN=β．
（1）當點P在l₁與l₂之間時．
①求∠APB的大�。ㄓ煤�α、β的代數(shù)式表示）；
②若∠APM的平分線與∠PBN的平分線交于點P₁，∠P₁AM的平分線與∠P₁BN的平分線交于點P₂，…，∠P_n-1AM的平分線與∠P_n-1BN的平分線交于點P_n，則∠AP₁B=$\frac{α+β}{2}$，∠AP_nB=$\frac{α+β}{{2}^{n}}$．（用含α、β的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）
（2）當點P不在l₁與l₂之間時．
若∠PAM的平分線與∠PBN的平分線交于點P，∠P₁AM的平分線與∠P₁BN的平分線交于點P₂，…，∠P_n-1AM的平分線與∠P_n-1BN的平分線交于點P_n，請直接寫出∠AP_nB的大�。�（用含α、β的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）

Answer 1

分析 （1）過點P作PQ∥l₁交AB于Q，則∠APQ=∠MAP=α，由∠APQ=∠MAP=α①，∠QPB=∠PBN=β②，①+②即可解決問題．
（2）利用（1）的結(jié)論即可解決問題．
（3）分兩種情形寫出結(jié)論即可．

解答 解：（1）過點P作PQ∥l₁交AB于Q，則∠APQ=∠MAP=α      ①
∵l₁∥l₂，
∴PQ∥l₂，
∴∠QPB=∠PBN=β     ②，
①+②得∠APQ+∠BPQ=∠MAP+∠PBN，
∴∠APB=α+β．
（2）由（1）可知∠P₁=$\frac{1}{2}$（α+β），∠p₂=$\frac{1}{4}$（α+β），∠p₃=$\frac{1}{8}$（α+β）…
∴∠AP_nB=$\frac{α+β}{{2}^{n}}$．
故答案分別為$\frac{α+β}{2}$，$\frac{α+β}{{2}^{n}}$．
（3）當P在l₁上方時，β＞α，∠AP_nB=$\frac{β-α}{{2}^{n}}$．
當點P在l₂下方時，α＞β，∠Ap_nB=$\frac{α-β}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查平行線的性質(zhì)，角的和差定義等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，從特殊到一般，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考常考題型．