Question

16．如圖所示，I為△ABC的內(nèi)心，M為BC的中點，四邊形IQDM為平行四邊形，求證：∠QMD=90°．

Answer 1

分析 作IE⊥BC于E，根據(jù)內(nèi)心的概念得到$\frac{BF}{AB}$=$\frac{CF}{AC}$，根據(jù)合比性質(zhì)得到$\frac{BF}{AB}$=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{BC}{AB+AC}$，證明DM=EM，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理得到△QMD≌△IEM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到答案．

解答 證明：作IE⊥BC于E，
∵I為△ABC的內(nèi)心，
∴AF平分∠BAC，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{CF}{AC}$，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{BC}{AB+AC}$，
∴BF=$\frac{BC}{AB+AC}$•AB，
FM=BM-BF=$\frac{BC}{2}$-$\frac{BC}{AB+AC}$•AB，
$\frac{DM}{FM}$=$\frac{AI}{IF}$=$\frac{AB}{BF}$=$\frac{AC+AB}{BC}$，
∴DM=$\frac{AC+AB}{BC}$•FM=$\frac{AC-AB}{2}$，
又∵EM=BM-BE=$\frac{BC}{2}$-$\frac{CB+AB-AC}{2}$=$\frac{AC-AB}{2}$，
∴DM=EM，
∵四邊形IQDM為平行四邊形，
∴∠IME=∠QDM，IM=QD，
在△QMD和△IEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=EM}\\{∠QDM=∠IME}\\{DM=ME}\end{array}\right.$，
∴△QMD≌△IEM，
∴∠QMD=∠IEM=90°，
∴∠QMD=90°．

點評 本題考查的是三角形的五心的概念，掌握三角形的內(nèi)心的概念、平行四邊形的性質(zhì)和合比性質(zhì)是解題的關鍵．