Question

1．如圖，已知∠A=∠D=90°，點(diǎn)E、F在線段BC上，DE與AF交于點(diǎn)O，且AB=DC，BE=CF．求證：
（1）AF=DE
（2）若OP⊥EF，求證：OP平分∠EOF．

Answer 1

分析 （1）由于△ABF與△DCE是直角三角形，根據(jù)直角三角形全等的判定和性質(zhì)即可證明；
（2）先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得出∠AFB=∠DEC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF與△DCE都為直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AF=DE；

（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已證），
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∵OP⊥EF，
∴OP平分∠EOF．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直角三角形全等的判定和性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是由BE=CF通過等量代換得到BF=CE．