Question

2．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（-1，0）和（0，-3），點(diǎn)B在x軸上，已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，且它的對(duì)稱軸為直線x=1，點(diǎn)P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與B，C不重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)F
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)；
（3）求△PBC面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）可以采用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，因?yàn)辄c(diǎn)A（-1，0）、C（0，-3）在函數(shù)圖象上，對(duì)稱軸為x=1，也可求得A的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），列方程組即可求得解析式；
（2）先求得直線BC的解析式，則可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m-3），再求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，可得線段PF的長(zhǎng)；
（3）利用面積和，△PBC的面積S=S_△CPF+S_△BPF=$\frac{1}{2}$PF•BO即可求得．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)），
由拋物線的對(duì)稱性知B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
則有$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3．

（2）∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m²-2m-3，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)），
則有$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=x-3．
∴點(diǎn)F坐標(biāo)（m，m-3），
∴PF=（m-3）-（m²-2m-3）=-m²+3m．

（3）∵△PBC的面積S=S_△PCF+S_△PBF=$\frac{1}{2}$PF•BO=$\frac{1}{2}$×（-m²+3m）×3=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$ 時(shí)，△PBC的最大面積$\frac{27}{8}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ $\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．