Question

如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AC為對角線，四邊形AEFC是菱形，求證：∠EAC=30°．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：過點B作BO⊥AC于O，過點E作EH⊥AC于H，判斷出四邊形BEOH是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EH=BO，根據(jù)正方形的性質(zhì)用AB表示出BO，再根據(jù)菱形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)表示出AE，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半證明．

解答：證明：如圖，過點B作BO⊥AC于O，過點E作EH⊥AC于H，
∴BO∥EH，
∵菱形的對邊AC∥BF，
∴四邊形BEOH是矩形，
∴EH=BO，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BO=

2

2

AB，
∵四邊形AEFC是菱形，
∴AE=AC=

2

AB，
∴

EH

AE

=

2 2 AB

2 AB

=

1

2

，
∴∠EAC=30°．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．