Question

已知拋物線y=

1

3

x²的圖象如圖所示．
（1）當(dāng)拋物線向右平移m個(gè)單位后，經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），試求m的值；
（2）畫出平移后的圖象；
（3）設(shè)兩條拋物線相交于點(diǎn)B，點(diǎn)A關(guān)于新拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，試在新拋物線的對(duì)稱軸上找出一點(diǎn)P，使BP+CP的距離最短，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先由平移規(guī)律求出平移后的拋物線解析式，因?yàn)樗��?jīng)過點(diǎn)（0，3），所以再把點(diǎn)（0，3）代入新的拋物線解析式即可求出m的值．
（2）拋物線平移后，二次項(xiàng)系數(shù)不變，只是頂點(diǎn)坐標(biāo)位置的變化；
（3）根據(jù)已知條件易求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，BP+CP的值最小，此時(shí)點(diǎn)P是直線BC與直線x=3的交點(diǎn)．

解答：解：（1）把拋物線y=

1

3

x²向右平移m個(gè)單位得到y(tǒng)=

1

3

（x-m）²，
∵經(jīng)過點(diǎn)（0，3），
∴3=

1

3

（0-m）²，
解得：m₁=3，m₂=-3（不合題意，舍去）．
即m的值是3；

（2）拋物線y=

1

3

x²的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），平移后拋物線y=

1

3

（x-3）²，的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0），其圖象如圖所示；


（3）由題意得：

y= 1 3 x2 y= 1 3 (x-3)2

，
解得

x= 3 2 y= 3 4

，
則B（

3

2

，

3

4

）．
∵平移后拋物線y=

1

3

（x-3）²的對(duì)稱軸是x=3，
∴點(diǎn)A（0，3）關(guān)于x=3的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，3）．
∵P在新拋物線的對(duì)稱軸x=3上，B，C在直線x=3的兩側(cè)，
∴當(dāng)B，P，C三點(diǎn)共線時(shí)，BP+CP的距離最短（兩點(diǎn)之間線段最短）．
設(shè)過點(diǎn)B、C直線的解析式為y=kx+b（k≠0）．則

3 4 = 3 2 k+b 3=6k+b

，
解得：

k= 1 2 b=0

，
∴直線BC的解析式為y=

1

2

x，
當(dāng)x=3時(shí)，y=

3

2

．
即符合條件點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)綜合題．函數(shù)圖象的平移和一個(gè)點(diǎn)在圖象上那么這個(gè)點(diǎn)就滿足該圖象的解析式，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．