Question

把兩個等腰直角三角形△ABC與△DEF如圖①擺放，直角頂點D在斜邊AB邊上，AB、EF的中點均為O，連結(jié)BF、CD、CO，顯然點C、F、O在同一條直線上．
（1）判斷線段BF和CD的數(shù)量和位置關(guān)系．（直接寫出結(jié)論不需要證明）
（2）將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉(zhuǎn)得到圖②，此時（1）中的結(jié)論是否成立？證明你的結(jié)論；
（3）如圖③，把題目條件改為△ABC與△DEF都是頂角為2α等腰三角形（即∠ACB=∠EDF=2α），（1）中的數(shù)量關(guān)系仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如不成立，請求出BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）延長BF與CD交與點G，易證OD=OF，CO=BO，即可證明△BOF≌△COD，可得∠OBF=∠OCG，BF=CD，即可證明∠CFG+∠OCG=90°，即可解題；
（2）連接OD，OF，OF交BF于點H，延長BF交CD于G，易證OD=OF，CO=BO，即可證明△BOF≌△COD，可得∠OBF=∠OCG，BF=CD，即可證明∠CHG+∠OCG=90°，即可解題；
（3）不成立，新結(jié)論為BF=CDtanα．理由：連接OD，OF，OF交BF于點H，延長BF交CD于G，易證

OF

OD

=tanα，

BO

CO

=tanα，即可證明△BOF∽△COD，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊比例等于相似比即可解題．

解答：證明：（1）延長BF與CD交與點G，

∵O是等腰直角△DEF斜邊EF中點，
∴EF⊥AB，OD=OF，
∵O是等腰直角△ABC斜邊AB中點，
∴CO=BO，
∵在△BOF和△COD中，

CO=BO ∠BOF=∠COD=90° DO=FO

∴△BOF≌△COD，（SAS）
∴∠OBF=∠OCG，BF=CD．
∵∠BFO+∠OBF=90°，∠BFO=∠CFG，
∴∠CFG+∠OCG=90°，
∴∠BGC=90°，
∴BF⊥CD；
（2）連接OD，OF，OF交BF于點H，延長BF交CD于G，

∵O是等腰直角△DEF斜邊EF中點，
∴OD=OF，∠DOF=90°，
∵O是等腰直角△ABC斜邊AB中點，
∴CO=BO，∠BOC=90°，
∴∠BOC+∠COF=∠DOF+∠COF，即∠BOF=∠COD，
∵在△BOF和△COD中，

BO=CO ∠BOF=∠COD FO=DO

，
∴△BOF≌△COD，（SAS）
∴∠OBF=∠OCG，BF=CD．
∵∠BHO+∠OBF=90°，∠BHO=∠CHG，
∴∠CHG+∠OCG=90°，
∴∠BGC=90°，
∴BF⊥CD；
（3）不成立，新結(jié)論為BF=CDtanα．
理由：連接OD，OC，OC交BF于點H，延長BF交CD于G，

∵O是等腰△DEF底邊EF中點，
∴

OF

OD

=tanα，∠DOF=90°，
∵O是等腰△ABC底邊AB中點，
∴

BO

CO

=tanα，∠BOC=90°，
∴∠BOC+∠COF=∠DOF+∠COF，即∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴

BF

CD

=

BO

CO

=tanα，
∴BF=CDtanα．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了相似三角形對應(yīng)邊比例等于相似比的性質(zhì)，本題中求證△BOF≌△COD是解題的關(guān)鍵．