Question

11．如圖（1），在邊長為3的等邊△ABC上再疊加一個Rt△DEF，在Rt△DEF中，∠DEF=90°，∠F=30°，等邊△ABC的邊BC與EF重合，頂點(diǎn)E與B重合，定點(diǎn)A在DF上．若等邊△ABC沿著EF方向以每秒2個單位的速度運(yùn)動，直到C與F重合為止．設(shè)運(yùn)動時間x秒，
（1）求線段EF的長；
（2）請你用含有x的代數(shù)式表示線段AM的長；
（3）假設(shè)Rt△DEF和等邊△ABC重合部分的面積為y，請你寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）重合部分的面積與Rt△DEF的面積的比有可能是7：24嗎？如果有可能，請求出此時x的值；如果沒有可能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)△ABC是等邊三角形可知∠ACB=60°，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出∠CAF=30°，故可得出AC=CF=3，故可得出EF的長；
（2）根據(jù)速度為2m/s，時間為x秒，可知BE=x，BF=6-x，再由△ABC是等邊三角形可知∠A=60°，由∠F=30°得出∠ANM=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出BN=$\frac{1}{2}$BF=3-x，AN=3-BN=3-（3-x）=$\frac{x}{2}$，再根據(jù)M=2AN即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)（3）中求出的AN、AM的長可用x表示出△AMN的面積，再由y=S_△ABC-S_△AMN即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)Rt△DEF中，EF=6，∠F=30°可求出DE的長，進(jìn)而得出△DEF的面積，再由（3）中y與x的關(guān)系式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB是△ACF的外角，∠F=30°，
∴∠CAF=∠ACB-∠F=60°-30°=30°，
∴AC=CF=3，
∴EF=BC+CF=3+3=6；

（2）如圖2，∵速度為2m/s，時間為x秒，
∴BE=2x，BF=6-2x，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵∠F=30°，
∴∠ANM=90°，
∴BN=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{6-2x}{2}$=3-x；
∴AN=3-BN=3-（3-x）=x，
∵由（1）知，∠AMN=∠F=30°，
∴AM=2AN=2x；

（3）∵由（2）知，AN=x，AM=2x，
∴MN=$\sqrt{3}$x，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$AN•MN=$\frac{1}{2}$×x×$\sqrt{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²，
∵△ABC是邊長為3的等邊三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴y=S_△ABC-S_△AMN=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²（0≤x≤3）；

（4）存在．
∵Rt△DEF中，EF=6，∠F=30°，
∴DE=2$\sqrt{3}$，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$EF•DE=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
∵由（3）知，y=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²（0≤x≤3），
∴$\frac{\frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}}{6\sqrt{3}}$=$\frac{7}{24}$，
解得：x=1，x=-1（不合題意），
∴當(dāng)x=1時，存在重合部分的面積與Rt△DEF的面積的比是7：24．

點(diǎn)評 本題考查了相似形綜合題，涉及到直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、三角形的面積等知識，正確利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出各邊長是解題關(guān)鍵．