Question

6．如圖，已知在直角坐標(biāo)系中，A（4，0），B（0，3），以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，設(shè)P（x，0）．
（1）求△ABC的面積；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得|PC-PB|的值最大？如果不存在，請說明理由；如果存在，請標(biāo)出點(diǎn)P的位置．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理得出AB的長，又由等腰Rt△ABC，且∠BAC=90°，即可求得AC的值，則可求得△ABC的面積，繼而求得答案．
（2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖1，易證△AOB≌△CHA，從而得到AH、CH，就可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）存在這樣的P點(diǎn)．當(dāng)PB與PA成一直線時，|PC-PB|的值最大．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（0，3），
可得：OB=3，OA=4，
∴在Rt△OAB中，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AC=AB=5，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×AC=$\frac{1}{2}$×5×5=12.5．
（2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖1，

則∠AHC=90°．
∴∠AOB=∠BAC=∠AHC=90°，
∴∠OAB=180°-90°-∠HAC=90°-∠HAC=∠HCA．
在△AOB和△CHA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CHA}\\{∠OAB=∠HCA}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴AO=CH=4，OB=HA=3，
∴OH=OA+AH=7，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7，4）；
（3）存在這樣的P點(diǎn)．當(dāng)PB與PA成一直線時，|PC-PB|的值最大，
如圖2，

點(diǎn)評 本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積公式等知識，構(gòu)造全等三角形是解決第（2）小題的關(guān)鍵．