Question

設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＜0），方程f（x）=x的根為x₁、x₂，且x₂-x₁＞

1

a

，當0＜t＜x₁時，試比較f（t）與x₁的大小關系．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：方程f（t）-x=0的兩個根x₁，x₂，所以構造函數，當0＜t＜x₁時，利用函數的性質推出x＜f （t），然后作差x₁-f（t），化簡分析出f（t）＜x₁，即可．

解答：解：令F（x）=f（t）-x．因為x₁，x₂是方程f（t）-x=0的根，所以
F（t）=a（x-x₁）（x-x₂）．
當0＜t＜x₁時，由于x₁＜x₂，得（x-x₁）（x-x₂）＞0，又a＜0，得
F（t）=a（x-x₁）（x-x₂）＞0，
即x＜f（t）．
x₁-f（t）
=x₁-[x+F（t）]
=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）
=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]
因為x₂-x₁＞

1

a

，所以x₁-x＞0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0．
得x₁-f（t）＞0．
由此得f（t）＜x₁．

點評：本小題主要考查一元二次方程、二次函數和不等式的基礎知識，考查綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力．